Nommé d'après le mathématicien britannique George Green, le théorème de Green est un théorème par excellence du calcul, la branche des mathématiques qui traite de l'étude rigoureuse du changement continu et des fonctions. Cet article explore le calcul sur l'espace euclidien tridimensionnel R³ et vise à combler le fossé entre les mathématiques scolaires et universitaires.

Le premier théorème de l'étude du calcul vectoriel réduit une intégrale de surface à une intégrale de ligne. Elle relie une ligne intégrale autour d'une simple courbe fermée C à une double intégrale sur la région plane D délimitée par C.

L'intuition

Pour comprendre cela en termes simples, pensez à un écoulement de fluide dans un plan bidimensionnel. Imaginez que le fluide s'écoule dans une région et que son écoulement soit décrit par un champ vectoriel. La courbe qui délimite cette région peut être considérée comme une barrière, et nous nous intéressons à la circulation nette du fluide autour de cette barrière.

L'intuition ici est que la circulation nette autour d'une courbe fermée est déterminée par le "comportement rotationnel" (curl) du champ vectoriel dans la région qu'il renferme. Si la courbure est positive, cela signifie que le champ tourbillonne dans le même sens que l'orientation de la courbe (sens antihoraire), ce qui contribue à la circulation. Si la courbure est négative, elle s'oppose à l'orientation de la courbe, réduisant la circulation.

Aire d'une ellipse

Une application du théorème de Green est dans les domaines informatiques. Voici l'aire de la région D

Notre objectif est de choisir des fonctions arbitraires P et Q afin que nous obtenions ce qui suit est satisfait.

Il existe une poignée de possibilités utiles.

Comme on peut le voir, ces différentes expressions donnent toutes la même aire.

Pour calculer l'aire avec le théorème de Green, nous choisirons la première possibilité.

C désigne la courbe de l'équation de l'ellipse. Nous allons le paramétrer dans ce qui suit.

La courbe va de 0 à 2pi, l'intégrale est maintenant

On peut alors substituer x = acost(t) ainsi que la dérivée de y par rapport à t.

En guise d'exercice, essayez de calculer l'intégrale et la réponse devrait être la suivante

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