Introduction

Dans mon article précédent, nous avons discuté et dérivé de la distribution exponentielle que vous pouvez consulter ici :

En un mot, la distribution exponentielle calcule la probabilité des temps d'attente entre les événements dans un processus de Poisson.

Si vous n'êtes pas familier avec le processus/distribution de Poisson, je vous recommande vivement de le lire avant de poursuivre cet article.

Le problème avec la distribution exponentielle est qu'elle ne fait que déduire la probabilité du temps d'attente pour le premier événement. Cependant, la distribution gamma nous donne la probabilité du temps d'attente jusqu'au nième événement.

Dans cet article, nous allons dériver la distribution gamma et acquérir une certaine intuition derrière elle.

Dérivation

La dérivation de la distribution gamma est similaire à la distribution exponentielle, comme vous pouvez vous y attendre.

Nous commençons par dire que nous voulons attendre le temps T, pour que le nième (n) événement se produise. Pour la distribution gamma , T est la variable aléatoire . Cela signifie que nous avons besoin que n-1 événements se produisent au temps t :

Nous devons maintenant résumer les probabilités d'avoir 0 à n-1 événements se produisant dans la période de temps t en utilisant la fonction de masse de probabilité de la distribution de Poisson (PMF) :

Ici, n est le nombre d'événements survenus dans la période de temps t avec le paramètre de taux (Poisson) λ , indiquant le nombre prévu d'événements dans la période de temps donnée, par exemple 5 réclamations par heure.

La formule ci-dessus est la définition de la fonction de distribution cumulative (CDF). Pour extraire la fonction de densité de probabilité (PDF) , il nous suffit de trouver la dérivée de la CDF par rapport à t car c'est la variable aléatoire.

Maintenant, ce dérivé est assez délicat, j'ai donc omis le processus complet ici. Cependant, le lecteur intéressé peut trouver la dérivation complète ici.

La version finale du PDF se lit comme suit :

Et là, nous l'avons!

Fonction gamma

La raison pour laquelle la distribution est nommée Distribution Gamma est qu'elle contient la fonction Gamma :

Où Γ i est le symbole grec gamma. Par conséquent, réécrivons notre PDF :

Parcelles

Ainsi, la Distribution Gamma est paramétrée par deux valeurs :

• λ, Le taux d'événements
• n , Le nombre d'événements que vous attendez

# import packages
import numpy as np
import scipy.stats as stats 
import matplotlib.pyplot as plt
# get distributions
x = np.linspace(0, 20, 1000)
y1 = stats.gamma.pdf(x, a=3, scale=0.5)
y2 = stats.gamma.pdf(x, a=3, scale=1)
y3 = stats.gamma.pdf(x, a=3, scale=2)
# plot
plt.figure(figsize=(15,7))
plt.plot(x, y1, label='λ=2')
plt.plot(x, y2, label='λ=1')
plt.plot(x, y3, label='λ=0.5')
plt.title('n=3, Waiting Till The 3rd Event', fontsize=24)
plt.xticks(fontsize=20)
plt.yticks(fontsize=20)
plt.legend(fontsize=20)
plt.ylabel('PDF', fontsize=20)
plt.xlabel('Random Variable T', fontsize=20)
plt.show()

Le temps d'attente attendu entre les événements est égal à 1/λ, ce qui est logique car lorsque le nombre d'occurrences augmente, le temps attendu entre les événements devrait diminuer. Par conséquent, à mesure que λ diminue, le temps attendu entre les événements augmente. Ceci est observé dans les graphiques ci-dessus où nous voyons le temps d'attente moyen pour le 3e événement augmenter à mesure que λ diminue.

Conclusion

Dans ce blog, nous avons généralisé la distribution exponentielle pour dériver la distribution gamma nous donnant la probabilité d'un temps d'attente jusqu'au nième événement. Dans mon prochain blog, nous parlerons de la distribution Chi-Square, qui est un sous-ensemble de Gamma, et de ses nombreuses utilisations en statistiques !

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