Introducción

En mi publicación anterior discutimos y derivamos la distribución exponencial que puede consultar aquí:

En pocas palabras, la Distribución Exponencial calcula la probabilidad de tiempos de espera entre eventos en un Proceso de Poisson.

Si no está familiarizado con el proceso/distribución de Poisson, le recomiendo que lea sobre él antes de continuar con este artículo.

El problema con la Distribución Exponencial es que solo infiere la probabilidad del tiempo de espera para el primer evento. Sin embargo, la Distribución Gamma nos da la probabilidad del tiempo de espera hasta el n-ésimo evento.

En esta publicación derivaremos la Distribución Gamma y ganaremos algo de intuición detrás de ella.

Derivación

La derivación de la Distribución Gamma es similar a la Distribución Exponencial, como es de esperar.

Empezamos diciendo que queremos esperar el tiempo T, para que ocurra el n-ésimo (n) evento. Para la Distribución Gamma T es la variable aleatoria . Esto significa que necesitamos que ocurran n-1 eventos en el tiempo t:

Ahora necesitamos resumir las probabilidades de que ocurran de 0 a n-1 eventos en el período de tiempo t utilizando la función de masa de probabilidad (PMF) de la distribución de Poisson :

Aquí, n es el número de eventos que ocurren en el período de tiempo t con el parámetro de tasa (Poisson) λ , que indica el número esperado de eventos dentro del período de tiempo dado, por ejemplo, 5 reclamos por hora.

La fórmula anterior es la definición de la función de distribución acumulativa (CDF). Para extraer la Función de Densidad de Probabilidad (PDF) solo necesitamos encontrar la derivada de la CDF con respecto a t ya que esa es la variable aleatoria.

Ahora bien, este derivado es bastante complicado, por lo que he omitido el proceso completo aquí. Sin embargo, el lector interesado puede encontrar la derivación completa aquí.

La versión final del PDF dice:

¡Y ahí lo tenemos!

Función gamma

La razón por la que la distribución se llama Distribución Gamma es porque contiene la Función Gamma:

Donde Γ es el símbolo griego gamma. Por lo tanto, reescribiendo nuestro PDF:

Parcelas

Entonces, la Distribución Gamma está parametrizada por dos valores:

• λ, la tasa de eventos
• n , el número de eventos que está esperando

# import packages
import numpy as np
import scipy.stats as stats 
import matplotlib.pyplot as plt
# get distributions
x = np.linspace(0, 20, 1000)
y1 = stats.gamma.pdf(x, a=3, scale=0.5)
y2 = stats.gamma.pdf(x, a=3, scale=1)
y3 = stats.gamma.pdf(x, a=3, scale=2)
# plot
plt.figure(figsize=(15,7))
plt.plot(x, y1, label='λ=2')
plt.plot(x, y2, label='λ=1')
plt.plot(x, y3, label='λ=0.5')
plt.title('n=3, Waiting Till The 3rd Event', fontsize=24)
plt.xticks(fontsize=20)
plt.yticks(fontsize=20)
plt.legend(fontsize=20)
plt.ylabel('PDF', fontsize=20)
plt.xlabel('Random Variable T', fontsize=20)
plt.show()

El tiempo de espera esperado entre eventos es igual a 1/λ, lo que tiene sentido ya que cuando aumenta el número de ocurrencias, el tiempo esperado entre eventos debería disminuir. Por lo tanto, a medida que λ se hace más pequeño, aumenta el tiempo esperado entre eventos. Esto se observa en los gráficos anteriores donde vemos que el tiempo medio de espera para el tercer evento aumenta a medida que λ se hace más pequeño.

Conclusión

En este blog hemos generalizado la Distribución Exponencial para derivar la Distribución Gamma dándonos la probabilidad de un tiempo de espera hasta el n-ésimo evento. En mi próximo blog, hablaremos sobre la distribución Chi-Square, que es un subconjunto de Gamma, ¡y sus muchos usos en estadísticas!

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